Sistemas numericos
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten
representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas
posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la
posición que ocupa en la cifra.
Los sistemas de numeración que poseen una base tienen la característica de cumplir con la notación posicional, es decir, la posición de cada número le da un valor o peso, así el primer dígito de derecha a izquierda después del punto decimal, tiene un valor igual a b veces el valor del dígito, y así el dígito tiene en la posición n un valor igual a: (bn ) * A donde:
b = valor de la base del sistema
n = número del dígito o posición del mismo
A = dígito.
Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, en los que el valor relativo que representa cada símbolo o cifra de una determinada cantidad depende de su valor absoluto y de la posición relativa que ocupa dicha cifra con respecto a la coma decimal.
Este sistema cuenta con conjuntos ordenados de símbolos llamados "dígitos", con relaciones definidas para:
* Suma
* Resta
* Multiplicación
* División
La Base (r) del sistema representa el número total de dígitos permitidos, ejemplo:
* r = 2 Sist. Binario, dígitos: 0,1
* r = 10 Sist. Decimal, dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
* r = 16 Sist. Hexadecima1, dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
* r = 8 Sist. Octal, digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
1)El sistema de numeración que se utiliza habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.
El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.
2. Sistema de Numeración Binario: El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1). En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.
En un número entero binario el bit a la derecha es el bit menos significativo (LSB, Least Significant Bit) y tiene un peso de 20=1. El bit del extremo izquierdo el bit más significativo (MSB, Most Significant Bit) y tiene un peso dependiente del tamaño del numero binario. Los pesos crecen de derecha a izquierda en potencias de 2.
En números fraccionarios el bit a la izquierda de la coma es el MSB y su peso es de 2‐1= 0,5. Los pesos decrecen de izquierda a derecha en potencias negativas de 2.
. La siguiente tabla muestra la equivalencia de los números decimales del 0 al 15 a su correspondiente binario.
Número Decimal Número Binario
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
3. Sistema de Numeración Octal: El sistema numérico octal o de base ocho es el sistema de numeración que utiliza ocho dígitos o símbolos (0‐7), correspondiendo el mayor al número 7, es decir, uno menor que el valor de la base (8). Cuando se cuenta en este sistema, la secuencia es desde 0 hasta 7. Las operaciones aritméticas son las mismas de cualquier sistema numérico. Los números octales se denotan mediante el subíndice 8
4. Sistema de Numeración Hexadecimal: Este sistema es de base 16, lo que significa que para cada columna es posible escoger uno de entre 16 dígitos. Éstos son O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F.
Para contar en el sistema hexadecimal se inicia en la primera columna a la izquierda del punto hexadecimal y se cuenta desde O hasta F. Una vez que se llena la primera columna, se pone en cero a ella y se suma uno a la segunda columna. Después del 18, 19, lA, 1B, 1C, 1D, lE, lF siguen el 20, 21, y así sucesivamente. Después del 9FFF sigue el A000, etc.
Conversiones de sistemas numericos:
- CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL: Para convertir un número binario a decimal, realizamos los siguientes pasos:
a. Se ubican las potencias de dos, iniciando desde cero, ubicándolas de derecha a izquierda.
b. Tomamos los valores de posición correspondiente a las columnas donde aparezcan únicamente unos.
c. Sumamos los valores de de cada potencia, en las posiciones donde solo haya unos.
d. La suma resultante es el número en decimal. Como lo muestra la siguiente figura
Los sistemas de numeración que poseen una base tienen la característica de cumplir con la notación posicional, es decir, la posición de cada número le da un valor o peso, así el primer dígito de derecha a izquierda después del punto decimal, tiene un valor igual a b veces el valor del dígito, y así el dígito tiene en la posición n un valor igual a: (bn ) * A donde:
b = valor de la base del sistema
n = número del dígito o posición del mismo
A = dígito.
Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, en los que el valor relativo que representa cada símbolo o cifra de una determinada cantidad depende de su valor absoluto y de la posición relativa que ocupa dicha cifra con respecto a la coma decimal.
Este sistema cuenta con conjuntos ordenados de símbolos llamados "dígitos", con relaciones definidas para:
* Suma
* Resta
* Multiplicación
* División
La Base (r) del sistema representa el número total de dígitos permitidos, ejemplo:
* r = 2 Sist. Binario, dígitos: 0,1
* r = 10 Sist. Decimal, dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
* r = 16 Sist. Hexadecima1, dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
* r = 8 Sist. Octal, digitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
1)El sistema de numeración que se utiliza habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.
El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.
2. Sistema de Numeración Binario: El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1). En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.
En un número entero binario el bit a la derecha es el bit menos significativo (LSB, Least Significant Bit) y tiene un peso de 20=1. El bit del extremo izquierdo el bit más significativo (MSB, Most Significant Bit) y tiene un peso dependiente del tamaño del numero binario. Los pesos crecen de derecha a izquierda en potencias de 2.
En números fraccionarios el bit a la izquierda de la coma es el MSB y su peso es de 2‐1= 0,5. Los pesos decrecen de izquierda a derecha en potencias negativas de 2.
. La siguiente tabla muestra la equivalencia de los números decimales del 0 al 15 a su correspondiente binario.
Número Decimal Número Binario
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
3. Sistema de Numeración Octal: El sistema numérico octal o de base ocho es el sistema de numeración que utiliza ocho dígitos o símbolos (0‐7), correspondiendo el mayor al número 7, es decir, uno menor que el valor de la base (8). Cuando se cuenta en este sistema, la secuencia es desde 0 hasta 7. Las operaciones aritméticas son las mismas de cualquier sistema numérico. Los números octales se denotan mediante el subíndice 8
4. Sistema de Numeración Hexadecimal: Este sistema es de base 16, lo que significa que para cada columna es posible escoger uno de entre 16 dígitos. Éstos son O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F.
Para contar en el sistema hexadecimal se inicia en la primera columna a la izquierda del punto hexadecimal y se cuenta desde O hasta F. Una vez que se llena la primera columna, se pone en cero a ella y se suma uno a la segunda columna. Después del 18, 19, lA, 1B, 1C, 1D, lE, lF siguen el 20, 21, y así sucesivamente. Después del 9FFF sigue el A000, etc.
Conversiones de sistemas numericos:
- CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL: Para convertir un número binario a decimal, realizamos los siguientes pasos:
a. Se ubican las potencias de dos, iniciando desde cero, ubicándolas de derecha a izquierda.
b. Tomamos los valores de posición correspondiente a las columnas donde aparezcan únicamente unos.
c. Sumamos los valores de de cada potencia, en las posiciones donde solo haya unos.
d. La suma resultante es el número en decimal. Como lo muestra la siguiente figura
-CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO.
Divisiones sucesivas: Para Transformar un numero en sistema decimal al
sistema binario, basta con dividir el número del sistema decimal entre 2, cuyo
resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el
dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1
finaliza la división.
-CONVERSIÓN DE DECIMAL A OCTAL.
Un entero decimal se puede convertir a octal con el mismo método de división
repetida que se usó en la conversión de decimal a binario, pero con un factor de
división de 8 en lugar de 2. Por ejemplo:
Conversión sin decimales:
164/8 = 20 con residuo 4
20/8 = 2 con residuo 4
2/8 = 1 con residuo 2
Al final resulta que:
164
10 = 244
8
-CONVERSION DE OCTAL A DECIMAL:
a. Tomamos nuestro numero octal, por ejemplo 3014 y lo dividimos en cifras:
3 0 1 4
b. A cada una de estas cifras le agregamos un multiplicador por 8 (*8):
3*8 0*8 1*8 4*8
c. Cada “*8″ lo elevamos, de derecha a izquierda, a una potencia consecutiva
empezando del cero:
3*8^3 0*8^2 1*8^1 4*8^0
d. Resolvemos cada uno de estos grupos:
1536 0 8 4
e. Sumamos estos resultados:
1536 + 0 + 8 + 4 = 1548
f. “1548″ es el número decimal y con esto se termina la transformación
-CONVERSIÓN DE OCTAL A BINARIO.
La ventaja principal del sistema de numeración octal es la facilidad con que se puede
realizar la conversión entre números binarios y octales. La conversión de octal a
binario se lleva a cabo conviniendo cada dígito octal en su equivalente binario de 3
bits.
Por medio de estas conversiones, cualquier número octal se conviene a binario,
convirtiéndolo de manera individual. Por ejemplo, podemos convertir 516, a binario de
la siguiente manera:
-CONVERSIÓN DE BINARIO A OCTAL.
La conversión de enteros binarios a octales es simplemente la operación inversa del
proceso anterior. Los bits del número binario se agrupan en conjuntos de tres
comenzando por el LSB. Luego, cada grupo se convierte a su equivalente octal.
Por
ejemplo:
1110011011102
111 001 101 110
7 1 5 6
El resultado sería: 111001101110(2) = 7156 (8)
-CONVERSIÓN DE HEXADECIMAL A DECIMAL.
Un número hexadecimal se puede convertir a su equivalente decimal utilizando el
hecho de que cada posición de los dígitos hexadecimales tiene un valor que es una
potencia de 16. El LSD tiene un valor de l6
0
= 1; el siguiente dígito en secuencia tiene
un valor de 161
= 16; el siguiente tiene un valor de 162
= 256 y así sucesivamente.
-CONVERSIÓN DE DECIMAL A HEXADECIMAL
Recuerde que efectuamos la conversión de decimal a binario por medio de la división
repetida entre 2 y de decimal a octal por medio de la división repetida entre 8. De
igual manera, la conversión de decimal a hexadecimal se puede efectuar por medio
de la división repetida entre 16. Por ejemplo:
423/16 = 26 con residuo 7
26/16 = 1 con residuo 10
1/16 = 0 con residuo 1
Entonces:
423 }(10) = 1A7 (16)
-CONVERSIÓN DE HEXADECIMAL A BINARIO.
Al igual que el sistema de numeración octal, el sistema hexadecimal se usa
principalmente como método ‘taquigráfico" en la representación de números
binarios. Es una tarea relativamente simple la de convertir un número hexadecimal en
binario. Cada dígito hexadecimal se convierte en su equivalente binario de 4 bits.
1110100110(2) = 0011 1010 0110
3 A 6
1110100110(2) = 3A6 (16)
Fuente: http://ingenieria1.udistrital.edu.co/udin1/pluginfile.php/31520/mod_resource/content/2/Sistemas%20numéricos.pdf
Fuente: http://ingenieria1.udistrital.edu.co/udin1/pluginfile.php/31520/mod_resource/content/2/Sistemas%20numéricos.pdf
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